Có: Góc D = góc E  =>  tam giác ADE cân tại A   (1)

góc D = góc E   mà  D₁ = D₂

                               E₁ = E₂

=> D₁ = E₁        (2)

Xét 2 tam giác: ADM và AEN, có:

            AD = AE   (tam giác ADE cân tại A), (1)

            Â là góc chung

            D₁ = D₁      (2)

=> tam giác ADM = tam giác AEN  (g.c.g)

=> DM = EN (2 cạnh tương ứng)

Vì tam giác ADE có góc D=góc E nên ADE cân tại A.Gọi giao điểm của DM và EN là O.

Xét tam giác DON và tam giá EOM ta có:

góc ODN=góc OEM

DO=EO

góc DON=góc EOM(2 góc đối đỉnh)

=>tam giác DON=tam giác EOM(g.c.g)

=>DN=EM(2 cạnh tương ứng)

Tam giác ADE có: ∠D = ∠E (giả thiết) (1)

∠(D1) = ∠(D2) = (1/2)∠D (vì DM là tia phân giác của góc ADE) (2)

∠(E1) = ∠(E2) = (1/2)∠E (vì EN là tia phân giác của góc AED) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠(D1 ) = ∠(D2) = ∠(E1) = ∠(E2 )

+) Xét ΔDNE và ΔEMD, ta có:

∠(NDE) = ∠(MED) (giả thiết)

DE cạnh chung

∠(D2) = ∠(E2 ) (chứng minh trên)

Suy ra: ΔDNE = ΔEMD (g.c.g)

Vậy DN = EM (hai cạnh tương ứng)

Tam giác ADE có: \(\widehat{\text{D}}=\widehat{E}\)(gt)

\(\widehat{\text{D1}}=\widehat{D2}=\dfrac{1}{2}\widehat{D}\)(Vì DM là tia phân giác)

\(\widehat{\text{E1}}=\widehat{E2}=\dfrac{1}{2}\widehat{E}\)(Vì EN là tia phân giác)

Suy ra:\(\widehat{\text{D1}}=\widehat{D2}=\)\(\widehat{\text{E1}}=\widehat{E2}\)

Xét ∆DNE = ∆EMD, ta có:

DE cạnh chung

\(\widehat{\text{D1}}=\widehat{E2}=\)(chứng minh trên)

Suy ra: ∆DNE = ∆EMD (g.c.g)

Vậy DE = EM (2 cạnh tương ứng).

Vì \(\Delta ADE\) có \(\widehat{D}=\widehat{E}\) nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\).

Xét \(\Delta DON\) và \(\Delta EOM\), ta có:

\(\widehat{ODN}=\widehat{OEM}\)

\(DO=EO\)

\(\widehat{DON}=\widehat{EOM}\)(2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta DON=\Delta EOM\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow DN=EM\) (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔFDE và ΔHED có

góc FDE=góc HED

ED chung

góc FED=góc HDE

Do đó: ΔFDE=ΔHED

=>DF=EH